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Définition
Enoncé de l'inégalité de Bessel
Dans un espace préhilbertien \(H\) (espace vectoriel d'un produit scalaire ou hermitien) où \(\forall f\in H\)
$$||f||^2=\langle{f|f}\rangle \geq\sum_k \langle{f|e_k}\rangle \overline{\langle{f|e_k}\rangle }=\sum_k|\langle{f|e_k}\rangle |^2$$
$$||f||^2\geq\sum_k|\langle{f|e_k}\rangle |^2$$
Avec:- La famille \(\{e_k\}\) orthonormée
Cas particuliers
Egalité module et somme produit scalaire
Si la famille \(\{e_k\}\) est totale (espace engendré dense) dans \(H\) alors on a pour les fonctions \(f\) continue par morceau (Continuité par morceau) et \(2\pi\)-périodique:
$$||f||^2=\sum_k |\langle{f|e_k}\rangle |^2$$
